高中数学第2章推理与证明2.3数学归纳法知识导航苏教版选修2-2

2.3 数学归纳法知识梳理 一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，用数学归纳法证明分两步：(1)_______________________________________；(2)____

2.3数学归纳法 知识梳理 一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，用数学归纳法证明分两步： (1)_______________________________________； (2)_______________________________________. 知识导学 与自然数n有关的命题，我们无法对所有的自然数逐一验证，可用数学归纳法证明，对 于数学归纳法要求的两步缺一不可，第一步是基础，第二步是循环递增，直至无穷，学习时 要正确理解，特别是在前步的基础上，下一步如何成立，是不是证明了这两步就对所有的自 然数都成立？结合例子来理解. 疑难突破 为什么证明(1)(2)两步就能说明对于所有的n≥n都成立呢？ 0 剖析：这是因为第一步首先验证了n取第一个值n，这样假设就有了存在的基础，至少 0 k=n成立，根据假设和合情推理，证明n=k+1时也成立，这实质上是证明了一种循环，如验 0 证了n=1成立，又证明了n=k+1成立，这就一定有n=2时成立，n=2成立,则n=3成立,n=3 0 成立,则n=4也成立，如此反复，以至无穷，对所有n≥n的整数就都成立了.数学归纳法用 0 两步就可以巧妙地解决了无限问题，这就是数学方法的神奇. 数学归纳法这两步缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)，就作出判断得出不正确的 结论，因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n取n以后的数时命题是否正确，我们无法判定， 0 同样，只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假 设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了. 用数学归纳法证明有关问题的关键，在于第二步，即n=k+1时成立是利用假设n=k时成 立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论，推证出n=k+1时成立，而不是直接代 入，否则n=k+1时也成假设了，命题并没有得到证明. 典题精讲 222222 【例1】证明1-2+3-4+…+(2n-1)-(2n)=-n(2n+1). 思路分析： 用数学归纳法证明等式时要注意等式两边的项数随n怎样变化，即由n=k到 n=k+1时，左右两边各增添哪些项. 22 证明： (1)当n=1时，左边=1-2=-3 右边=-1×(2×1+1)=-3，∴左边=右边，等式成立. 222222 (2)假设当n=k时等式成立，即1-2+3-4+…+(2k-1)-(2k)=-k(2k+1)成立. 22222222 则当n=k+1时，左边=1-2+3-4+…+(2k-1)-(2k)+［2(k+1)-1］+［2(k+1)］ 222 =-k(2k+1)+(2k+1)-(2k+2)=(2k+1)(k+1)-4(k+1) =(k+1)［2k+1-4(k+1)］=(k+1)(-2k-3) =-(k+1)［2(k+1)+1］=右边, ∴当n=k+1时，等式成立. 由(1)(2)可知对于任意正整数n，等式都成立. 绿色通道： 可用数学归纳法来证明关于自然数n的恒等式，证明时两步缺一不可，第一步必 须验证，证明n=k+1时，必须用假设n=k成立的结论证明. 变式训练: 用数学归纳法证明.