六正数构成四面体六棱长的充要条件

六正数构成四面体六棱长的充要条件关键词：四面体；充要条件；棱长6个正数如何构成四面体的6棱长呢。我们知道三角形和四面体分别是平面几何和立体几何中最简单的封闭图形，在过去的学习过程中，我们对三角形的相关

六正数构成四面体六棱长的充要条件 关键词：四面体；充要条件；棱长 6个正数如何构成四面体的6棱长呢。我们知道三角形和四面体分别是平面几何和 立体几何中最简单的封闭图形，在过去的学习过程中，我们对三角形的相关性质研 究得比较多，也得出了很多优美的结论，但是对于四面体的研究就显得较少，可以 说四面体是一片很有开发空间的“土地”，可以成为中学数学探究性学习的很好课 题. 定理设a，a′，b，b′，c，c′为6个正数，则这6个正数构成四面体6条棱长的 充要条件是：f（a，a′，b，b′，c，c′）=a2a′2（－a2－a′2+b2+b′2+c2+c′2） +b2b′2・（a2+a′2－b2－b′2+c2+c′2）+c2c′2（a2+a′2+b2+b′2－c2－c′2） －（a2b2c2+a2b′2c′2+a′2b2c′2+a′2b′2c2）>0（其中a和a′，b和b′，c和 c′各为四面体的一组对棱）. [d][c][a][b][a′][b′][c′][c][b][a] 图1 证明如图1所示，d-abc为四面体，因为a，b，c；a′，b′，c，分别为△cab和 △dab的三边.由海伦面积公式易知（a2+b2+c2）2>2（a4+b4+c4）⇔2 （a2b2+b2c2+a2c2）>a4+b4+c4.所以，对于a，b，c及a′，b′，c有 2（a2b2+b2c2+a2c2）>a4+b4+c4，① 2（a′2b′2+b′2c2+a′2c2）>a′4+b′4+c4.② 当二面角d－ab－c的平面角α=0或π时，易知a，b，c，d四点共面. [a][b][c][x][y][d] 图2 （1）当二面角d－ab－c的平面角α=0时，建立如图2所示的直角坐标系，则有a （0，0），b（c，0）.假设c，d两点的坐标分别为c（x3，y3），d（x4，y4）， 那么我们有（x3-c）2+y=a2，x+y=b2，（x4-c）2+y=b′2，x+y=a′2.解方程组可得 c，d两点的坐标分别为： c（（b2+c2－a2）／2c，／2c），d（（a′2+c2－b′2）／2c，／2c）（其中g （a，b，c）=－a4－b4－c4+2a2b2+2a2c2+2b2c2，且由①②式可知，g（a，b， c）>0，g（a′，b′，c）>0）. [a][b][c][x][y][d′] 图3 （2）当二面角d－ab－c的平面角α=π时，建立如图3所示的直角坐标系，则有a （0，0），b（c，0）.由（1）的推导过程，同理可得c，d′两点的坐标分别为c （（b2+c2－a2）／2c，／2c），d′（（a′2+c2－b′2）／2c，－／2c）.