特点向量的几何意义

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特征向量的几何意义 长时间以来一直不了解矩阵的特征值和特征向量到底有何意义（估计很 多兄弟有同样感受）。知道它的数学公式，但却找不出它的几何含义， 教科书里没有真正地把这一概念从各种角度实例化地进行讲解，只是一 天到晚地列公式玩理论——有个屁用啊。 根据特征向量数学公式定义，矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一 个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另 一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系， 比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维 向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个 变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在 平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这 特 个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一个 定的变换特定的变换 特征向量是这样一种向量，它经过这种后保持方向 (再想想特征向量的原始定义Ax=cx, 不变，只是进行长度上的伸缩而已 cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)。 这里给出一个特征向量的简单例子，比如平面上的一个变换，把一个向 量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标 取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[10;0-1]（分号表示换行），