高考数学一轮复习 第3章 导数及其应用 第6节 利用导数解决函数的零点问题教学案 文 北师大版-北师大版高三全册数学教学案

第六节　利用导数解决函数的零点问题(对应学生用书第52页)⊙考点1　判断、证明或讨论函数零点的个数　判断函数零点个数的三种方法直接法令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数画图法转化为两个易画出图

第六节利用导数解决函数的零点问题 (对应学生用书第52页) ⊙考点1判断、证明或讨论函数零点的个数 判断函数零点个数的三种方法 直接法 fx 令()＝0，则方程解的个数即为零点的个数 画图法 转化为两个易画出图像的函数，看其交点的个数即可 定理法 利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决 fxxxxxfxfx (2019·全国卷Ⅰ)已知函数()＝2sin－cos－，′()为()的导数． fx (1)证明：′()在区间(0，π)存在唯一零点； xfxaxa (2)若∈[0，π]时，()≥，求的取值范围． gxfx (1)证明：设()＝′()， [解] gxxxxgxxx 则()＝cos＋sin－1，′()＝cos. xgxx 当∈\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π2))时，′()＞0；当∈ gxgx \rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π2)，π)时，′()＜0，所以()在 \rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π2))上单调递增，在\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π2)，π)上单 调递减． ggg 又(0)＝0，\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π2))＞0，(π)＝－2， gx 故()在(0，π)存在唯一零点． fx 所以′()在区间(0，π)存在唯一零点． fafa (2)由题设知(π)≥π，(π)＝0，可得≤0. fxxxxfx 由(1)知，′()在(0，π)只有一个零点，设为，且当∈(0，)时，′()＞0； 00 xxfxfxxx 当∈(，π)时，′()＜0，所以()在(0，)上单调递增，在(，π)上单调递减． 000 ffxfx 又(0)＝0，(π)＝0，所以当∈[0，π]时，()≥0. axaxfxax 又当≤0，∈[0，π]时，≤0，故()≥. a 因此，的取值范围是(－∞，0]． 根据参数确定函数零点的个数，解题的基本思想是“数形结合”，即通过研究 函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)，作出函数的大致图像，然后通过函数图 1