公理系统（推荐阅读）[修改版]

第一篇：公理系统公理化方法 所谓公理化方法，就是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题（即公理、公设）出发，按照逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。 1简介 恩格斯曾说过：数学上的所

第一篇：公理系统 公理化方法 所谓公理化方法，就是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题（即公理、公设）出发，按照 逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。 1 简介 恩格斯曾说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。 公理化方法能系统的总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异 同，促进新数学理论的建立和发展。现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是 科学理论成熟和数学化的一个主要特征。 公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，而且已经远远超出数学的范围，渗透到其它自然 科学领域甚至某些社会科学部门，并在其中起着重要作用． 2 历史发展 产生 公理化方法发展的第一阶段是由亚里士多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公 3 元前世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论， 以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段 论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统．亚里斯多德的思想 方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而 完成了数学史上的重要著作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析 1459 方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出个基本命题，其中有个公设和条公理，然后由此 出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚 里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在 数学发展史上树立了一座不朽的丰碑． “” 公理学研究的对象、性质和关系称为论域，这些对象、性质和关系，由初始概念表示．例如欧氏《几 “”“”“”“„„”“„„”“” 何原本》中只需取点、直线、平面；在之上、在之间、叠合作为初始概念．前三个概念所表示 “” 的三类对象和后三个概念所表示的三种关系就是这种几何的论域．按照一个公理系统只有一个论域的观点 建立起来的公理学，称为实质公理学．这种公理学是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性．因此， 欧氏《几何原本》就是实质公理学的典范．发展 公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：实质（或实体）公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式 ZFC 公理化阶段，用它们建构起来的理论体系典范分别是《几何原本》、《几何基础》和公理系统。《几 何原本》虽然开创了数学公理化方法的先河，然而它的公理系统还有许多不够完善的地方，其主要表现在 (1)(2)(3) 以下几个方面：有些定义使用了一些还未确定涵义的概念；有些定义是多余的；有些定理的证明过 (4)() 程往往依赖于图形的直观；有的公理即平行公理是否可用其它公理来证明或代替．这些问题成为后来许