初中数学竞赛精品标准教程及练习66：辅助圆

初中数学竞赛精品标准教程及练习（66）辅助圆一、内容提要经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以作一个圆，并且只能作一个圆.经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定

66 初中数学竞赛精品标准教程及练习（） 辅助圆 一、内容提要 1. 经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以 . 作一个圆，并且只能作一个圆 2. () 经过四点作圆即四点共圆有如下的判定定理： ① (). 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上圆的定义 ② . 一组对角互补的四边形顶点在同一圆上 ③ . 一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆 ④ . 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆 (). 推论：同斜边的直角三角形顶点共圆斜边就是圆的直径 3. . 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质常用的有： ① . 同弧所对的圆周角相等 ② . 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角 ③ (). 圆心角圆周角、弧、弦、弦心距的等量关系 ④ . 圆中成比例线段定理：相交弦定理，切割线定理 2 4. ab+cd=m 证明型如常用切割线定理 二、例题 1.O△ABCBECD. 例已知：点是的外心，，是高 AO⊥DE 求证： AO△ABCFBF. 证明：延长交的外接圆于，连接 ∵O△ABC 是的外心 ∴AF△ABC∠ABF=Rt∠. 是外接圆的直径， ∵BECD∠BDC=∠CEB=Rt∠. ，是高， ∴BCED() ，，，四点共圆同斜边的直角三角形顶点共圆 ∴∠ADE=∠ECB=∠F. ∴∠AGD=∠ABF=Rt∠ ， AO⊥DE. 即 2 2.ABCDO1989cmP∠OPB=45 例正方形的中心为，面积为，为正方形内的一点，且， PA∶PB=5∶14PB=____cm. ，则 ∵∠OPB=∠OAB=45 解： ∴ABOP() 四点共圆同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆 ∴∠APB=∠AOB=Rt∠. Rt△APBPA5xPB14x. 在中，设为，则是 22 ∴(5x)+(14x)=1989. x=3, 14x.42. 解得 ＝ ∴PB=42 (cm). 3.ABCDCE⊥ABEAF⊥BCF. 例已知：平行四边形中，于，于 2 AB×AE+CB×CF=AC. 求证：