待定系数法在解非齐次线性微分方程组上的应用

待定系数法在解非齐次线性微分方程组上的应用   待定系数法在解非齐次线性微分方程组上的应用　长期以来，人们在探讨这样一个问题，即当具有特殊类型时，怎样用待定系数法求出非齐次线性微分方程组x'=Ax+f

待定系数法在解非齐次线性微分方程组上的应 用 待定系数法在解非齐次线性微分方程组上的应用 长期以来，人们在探讨这样一个问题，即当具有特殊类型时，怎样用待定系数法求出非齐 次线性微分方程组x'=Ax+f(t)的特解，但是没有取得成功。本文将给出关于这种方法一个比 较圆满的回答，它不仅为特殊类型非齐线性微分方程组求解拓宽了渠道，又给解决实际问题 带来了方便。 非齐线性微分方程组 x'=Ax+f(t)(1) 满足初始条件φ（t0）=η的解，由公式 φ（t）=exp［(t-t0)A］η+∫tt0exp［(t-s)A］·f(s)ds(2) 给出，这里 如果我们知道方程组（1）的一个特解（t），则方程组（1）满足初始条件的解就可以 写成 φ（t）=exp［（t-t0）A］η+φ（t） 下面介绍当f(t)具有某些特殊型式时怎样求出特解。 引理［1］若方程（1）中矩阵A的互异特征根为λ1，λ2，…，λl,重数分别为 n1,n2,…,nl,(n1+n2+…+n1=n),则有非奇异矩阵T（T为n×n阶矩阵），使得 ［（t-s）A］=T［］T-1，其中J具有约当标准型，即有 矩阵空白处元素均为零。 定理1：方程组（1）当f(t)=(bmtm+…+b1t+b0)eat时有型如 φ（t）=∑m+k-1i=0citieat(4) 的特解。其中bj,ci,(j=0,1,2,…,m;i=0,1,…,m+k-1)分别为维列向量， k=max(n1,n2,…,nl) 证明：显然φ（t）=∫tt0exp［（t-s）A］·f(s)ds是方程组（1）的特解。由引