四年级奥林匹克数学基础资料库第4讲数的整除性一

第4讲数的整除性（一） 我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整 除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质1如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除 。 例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。 性质2如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个 自然数整除 。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。 性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互 质的自然数的乘积整除 。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质， 那么126能被9×7＝63整除。 利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步 学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来： （1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2 整除。 （2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。 （3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。 （4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25） 整除。 （5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或 125）整除。 （6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。 其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的 内容。 因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或 25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以 由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4 （或25）整除。这就证明了（4）。 类似地可以证明（5）。