方差计算公式的变形及应用

方差计算公式的变形及应用江苏 庄亿农我们知道，对于一组数据x1、x2、…xn，若其平均数为，则其方差可用公式S2=++…+]计算出来．我们可以对其作如下变形：=[( x21+－2 x1)+( x2

方差计算公式的变形及应用 江苏庄亿农 2 xx…x 我们知道，对于一组数据、、，若其平均数为，则其方差可用公式S= 12n ++…+]计算出来．我们可以对其作如下变形： 2 2 2 =[( x+2 x)+( x+2 x)+( x+2 x)]=[ －－…+－ 11 22 nn 2 2 2 2 2 2 (x+x+ x)+n2( x+ x+ x)]= [(x+x+ x)+ n2n]=[ …+－…+…+－ 1 2 n12n 1 2 n 2 2 2 2 2 2 22 2 (x+x+ x)n]=[ (x+x+ x)(x+x+ x)]=[ (x+x+ …+－…+－…+，即…+ 1 2 n 1 2 n12n 1 2 2 2 x)(x+x+ x)]x=x=…=x=0 －…+．显然当时，． n12n 12n 这个变形公式很有用处，在解决有些问题中，巧妙地利用这个变形公式，可化繁为简， 具有事半功倍之效． 一、判断三角形形状 2 1 例 △ABCabcb+c=8bc=a12a+52△ABC 若的三边、、，满足，－，试判断的形状． 2222 解析： b+c=8(b+c)=64b+c=642bcbc=a12a+52 因为，所以，所以－．因为－，所以 222222 b+c=642(a12a+52)=2a+24a40bc=[(b+c) －－－－．由方差变形公式知，、的方差为 2222 (b+c)]= [(2a+24a40)×64]=a+12a36=(a6)≥0(a －－－－－－－－．因为，则－－ 2222 6)≥0 (a6)≤0(a6)≥0(a6)=0a6=0a=6=0 ，即－，而－，所以－，所以－，所以．所以， b=cb+c=8b=c=4△ABC 所以．又，所以．所以是等腰三角形． 二、解方程组 2 例 解方程组． 解析： 两个方程，三个未知数，一般情况下是求不出具体的未知数的值的．若考虑利用 方差变形公式，则能解决问题． 222222 x+y=3(x+y)=9x+y=92xyxy=+2zx+y=92( 因为，所以，所以－．因为，所以－