定积分的数值计算

第一讲 定积分的数值计算【主要目的】围绕定积分的概念与数值计算方法这一大家非常熟悉的主题，突出数值实验、几何观察、数值分析等实验特性，学生通过实验与理论的对照，加深对数学思想和数学知识的理解和掌握，学

第一讲定积分的数值计算 【主要目的】围绕定积分的概念与数值计算方法这一大家非常熟悉的主题，突出数值实验、 几何观察、数值分析等实验特性，学生通过实验与理论的对照，加深对数学思想和数学知识 的理解和掌握，学习如何从实验角度创新知识、发现知识，并上升到理论分析的角度。 【主要内容】定积分的数值计算方法，包括：矩形法、梯形法与辛普森法；对误差的了解： 精度与收敛速度 引言 首先回忆一下函数在区间上的定积分概念的建立过程。考虑在区间 内任意插入个分点的分法： 把分割成个小区间，第个子区间的长度为； 任取数，做乘积，把所有这些乘积相加得到和 式 . 如果无论区间怎样划分及分点怎样选取，当时，该和式 都趋于同一常数，则称函数在区间上可积，且称此常数为在区间 上的定积分，即 。 称和式为积分和或黎曼和。 在定积分的概念中包含了两个任意性，即对区间的分割和点的选取都是任意的。 显然，对于区间的不同分割或者点的选取不同，得到的和式一般不同。定积分的定义 中要求在对区间无限细分（）的条件下，所有这些和式都趋于同一数值。这一 点初学者较难理解。我们将通过数值实验来加以理解。 当在区间上连续，为在区间上的原函数时，我们可以 - 用牛顿莱布尼兹公式 方便地求得。但是有些函数其原函数不能用初等函数表示出来，这样对应的定积分通常也不 - 能用牛顿莱布尼兹公式算出其精确值。而且，在自然科学与工程技术中有许多问题，被积 函数并不是用具体函数表达式解析表示的，而经常是通过实验或测量方法用表格或图形给出 “” 的，这就导出了定积分的数值计算问题。我们将利用分割取近似，作和求极限这一定积分 思想方法，来构造一些数值计算方法，并进行数值实验。 —— 实验一定积分概念的深化达布和 设函数在区间上有界。考虑将将区间任意分割成个子区间 （）的分法，设在子区间上的上、下确界分别