求二面角大小和线面角大小的“另类”方法——公式法

1 求二面角大小和线面角大小的“另类”方法——公式法 山 石 求线面角及二面角大小的方法很多,下面介绍一种只需知道自一点的三条射线间的夹角,就能求线面角及二面角的大小的方法。 一、求二面角大小问题 定

1求二面角大小和线面角大小的“另类”方法—— 公式法 山石 求线面角及二面角大小的方法很多,下面介绍一种只需知道自一点的三条射线 间的夹角,就能求线面角及二面角的大小的方法。 一、求二面角大小问题 定理1如图设自点A有三条射线,∠BAC=β,∠BAD=α,∠CAD=γ,0?α?π, 0?β?π,0?γ?π,平面CAD与平面BAD所成的角为θ. 求证:θcos=γαγαβsinsincoscoscos- 证:作二面角B-AD-C平面角∠GEF,则∠GEF=θ根据余弦定理2GF=2GE +2EF-2GE·EFcosθ,2GF=2AG+2AF-2AG·AFcosβ得2GE+2EF-2GE ·EFcosθ=2AG+2AF-2AG·AFcosβ 2GE·EFcosθ=-22 AE+2AG·AFcosβ,cosθ=EFGEAE2 -+EFGEAFAGcosβ即cosθ=-cotαcotγ+γ αsinsin1cosβ,∴cosθ=γαγαβsinsincoscoscos- 应用1:(2004全国高考卷(II)第20题)如图,直三棱柱ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=1,CB=2,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D ,B1C1的中点为M. (Ⅰ)求证CD⊥平面BDM;