2024年新高考数学一轮复习达标检测第17讲导数的应用__利用导数研究不等式恒成立能成立问题教师版

《导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题》达标检测[A组]—应知应会1．已知函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\v

《导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题》达标检测 [A组]—应知应会 x 4 x fxx gxaxx 1．已知函数()＝＋ ，()＝2＋，若∈\a\vs4\al\co1(\f(12)，1)，∈[2，3]，使得 ∀∃ 12 fxgxa ()≥()，则实数的取值范围是() 12 aa A．≤1B．≥1 aa C．≤2D．≥2 fx 【解析】选A.由题意知()\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(12)，1))) min gxxfxgxaaa ≥()(∈[2，3])，因为()＝5，()＝4＋，所以5≥4＋，即≤1，故选A. minminmin ax x fxx)－3) fx 2．设函数()＝e\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3－，若不等式()≤0有正实数解，则实数 a 的最小值为________． xx 22 xaxxgxxxx 【解析】原问题等价于存在∈(0，＋∞)，使得≥e(－3＋3)，令()＝e(－3＋3)，∈(0， x 2 agxgxxxgxxgxx ＋∞)，则≥()，而′()＝e(－)．由′()>0可得∈(1，＋∞)，由′()<0可得∈(0， min gxga 1)．据此可知，函数()在区间(0，＋∞)上的最小值为(1)＝e.综上可得，实数的最小值为e. fxxgxx 3．已知函数()＝ln，()＝－1. yfxx (1)求函数＝()的图象在＝1处的切线方程； fxagxxa (2)若不等式()≤()对任意的∈(1，＋∞)均成立，求实数的取值范围． x 1 fx 【解析】(1)因为′()＝ ， f 所以′(1)＝1. fyffx 又(1)＝0，所以切线的方程为－(1)＝′(1)(－1)， yx 即所求切线的方程为＝－1. xfxgx (2)易知对任意的∈(1，＋∞)，()＞0，()＞0. afxgxagx ①当≥1时，()≤()≤()； afxagxfxagx ②当≤0时，()＞0，()≤0，所以不满足不等式()≤()； x 1 aφxfxagxxaxφx a ③当0＜＜1时，设()＝()－()＝ln－(－1)，则′()＝ －， a 1 φxx 令′()＝0，得＝ ， xφxφx 当变化时，′()，()的变化情况下表： a 1 x a)) \rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1 a)，＋∞) \rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1