方阵最小多项式的性质探究

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方阵最小多项式的性质探究 摘要 ：讨论方阵最小多项式的几个性质及相关的几个简单应用 关键词 ：方阵，最小多项式，零化多项式，特征多项式 1 定义 Af(x) F(x)f(A)=0f(x)A ：设方阵，若，使，则称为的零 化多项式。 1 命题 ：方阵的零化多项式是存在的。 F 证明：设为方阵，表示域上的所有方 阵的集合，构一线性空间，它的维数为，属于，由 这个向量必定线性相关。则存在一组不全 , 为零的数：使得， ,, 作多项式且，有 即中的任意向量来说，零化多项式是存在的。 2 定义 1 ：次数最低首项为的零化多项式称为最小多项式。 1 由命题的证明过程，我们知道最小多项式是存在的。只要由 ，随增大往上找。但是这也只能说方阵的最小多 , 项式的次数最多不超过这个估计是比较粗糙的，我们可以估 计得更精确些。 2 命题 cayley-HamiltonP ：（定理）设是数域上一个矩阵， 是的特征多项式，则 P303 证明：详见北大数教材《高等代数》。