初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案

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初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章数 1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0 到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的 基础上构造虚数单位满足，和有序实数对一起组成一个复数. 2（略） 3从数的起源至今，总共经历了五次扩充： 为了保证在自然数集中除法的封闭性，像的方程有解，这样，正分数 就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集. 公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩 充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集. 为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个 完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集. 直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力 下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集. 虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这 是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集. 4证明：设集合两两没有公共元素分别是非空有限集 的基数，根据定义，若，则存在非空有限集，使得； 若从而必存在非空有限集，使得，所以所 以集合的基数大于集合的基数，所以. 5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， （2）解：按照自然数序数理论乘法定义 6证明：当时，命题成立.（反证法）