高中数学中的自对称和互对称

浅析高中数学中的对称美太康县第一高级中学数学组 李云厅函数是高中数学的灵魂，也是整个高中数学的基础。函数的性质是近几年高考的重点与热点问题，而函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于

浅析高中数学中的对称美 太康县第一高级中学数学组李云厅 函数是高中数学的灵魂，也是整个高中数学的基础。函数的性质是近几年高考的重点与 热点问题，而函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中， 而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟 通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来体会高中数学中对称美。 一、 自对称：函数自身的对称性 1. 定理 y= f(x)A (a ,b) 函数的图像关于点对称的充要条件是 f(x) +f (2ax) =2b － P(x ,y)y =f (x)∵P( x,y) 证明：（必要性）设点是图像上任一点，点关于 ‘ A(a ,b)P2ax2byy =f (x)∴ 2by =f 点的对称点（－，－）也在图像上，－ (2ax) － y+ f(2ax)=2bf (x) +f (2ax) =2b 即－故－，必要性得证。 P(x,y)y =f (x)y =f (x) （充分性）设点是图像上任一点，则 0000 ∵f (x) +f (2ax) =2b∴f (x) +f (2ax) =2b2by =f (2ax) －－，即－－ 0000 。 ‘ ‘ P2ax2byy =f (x) PPA (a 故点（－，－）也在图像上，而点与点关于点 00 ,b) 对称，充分性得征。 推论： y= f(x)Of (x) +f (x) = 函数的图像关于原点对称的充要条件是－ 0 2. 定理 y= f(x)x =a 函数的图像关于直线对称的充要条件是 f(a +x) =f (ax) f(x) =f (2ax) －即－ y= f(x)yf (x) =f (x) 推论：函数的图像关于轴对称的充要条件是－ 3. ①y =f (x) A(a ,c)B (b ,c) 定理若函数图像同时关于点和点成中心对 1