各类网络模型的动力学分析与应用

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2007 复旦大学论文集（） 各类网络模型的动力学分析与应用 04 学生：数学科学学院级门金生 导师：数学科学学院林伟副教授 摘要： 本文主要讨论了互相耦合的一类网络模型中，同步状态的稳定的判别准则。首先给出 了带时滞的一类网络模型的稳定性判别的一个充分条件，其次，我们针对目前已有的成果中 存在的一些局限性，进行了更加深入的探讨。 关键字： Hayes 特征值稳定性定理条件极值无条件极值 1 ．课题背景及国内外的发展现状 在物理、化学、生物等领域中，很多有趣的现象都可以采用若干个甚至大 量完全相同的或者相近的，同时又会发生相互作用的动力学模型组成的网络来进 行描述。在这些有趣的现象中，一个较为经典并且常见于自然界和各类人造系统 的现象就是同步现象。近年来，网络的同步问题已经吸引了越来越多的来自不同 领域学者的__，其研究的意义不仅在于建立合理的数学模型描述已有的各类同步 现象，更重要的是帮助人们理解产生这些特殊现象的机制，以利于人们利用或者 抑制这些现象产生而带来的利与弊。现在对于网络的同步问题，从原先的完全同 步的研究逐渐发展到相同步、广义同步、时滞同步甚至同步预测等不同同步意义 下的研究；从原先两个系统的同步研究逐渐发展到现在多个乃至大规模网络的同 步研究；从原来确定性系统的同步研究逐渐发展到现今带有时滞、随机因素的系 统同步的研究。 近几年来，一类振荡器网络同步问题研究始终吸引了很多领域研究学者的注 意，这源于这类模型具有强烈的应用背景。在神经生物学中[1-3]，一个大的二 维系统的动力学表现分析中发现：一个小的时间上的延迟可以使系统达到一个令 人惊奇的状态——频率趋向于某一个固定的常数，整个系统退化成稳定的状态， 也就是说模型中所有的振荡器通过互相之间的动态反映达到一个同频（同步）的 状态。如果这个延迟更大一点或更小一点的话，系统便达到一个亚稳定状态，这 个状态是可以分析地、量化地表示出来的。在半导体激光列阵的研究表明[4,5]， 一个带有延迟的球形疏耦合产生的同步状态在等幅波雷达与脉冲自调制中都具 有很高的研究价值。在微波设备[6,7]的__研究中发现：相互耦合的磁电管的相位 同步可以在某一强度达到一致。在磁电管只有两个的情况下，它们通过长度为半 波长整数倍的电子波导微波直接交流来达到同步状态。除此之外，网络同步问题 - 79 -