初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第29讲 由正难则反切入

第二十九讲 由正难则反切入 人们习惯的思维方式是正向思维，即从条件手，进行正面的推导和论证，使问题得到解决．但有些数学问题，若直接从正面求解，则思维较易受阻，而“正难则反，顺难则逆，直难则曲

第二十九讲由正难则反切入 人们习惯的思维方式是正向思维，即从条件手，进行正面的推导和论证，使问题得到解 “ 决．但有些数学问题，若直接从正面求解，则思维较易受阻，而正难则反，顺难则逆，直 ” 难则曲是突破思维障碍的重要策略． 数学中存在着大量的正难则反的切入点．数学中的定义、公式、法则和等价关系都是双 向的，具有可逆性；对数学方法而言，特殊与一般、具体与抽象、分析与综合、归纳与演绎， 其思考方向也是可逆的；作为解题策略，当正向思考困难时可逆向思考，直接证明受阻时可 间接证明，探索可能性失败时转向考察不可能性．由正难则反切入的具体途径有： 1． 定义、公式、法则的逆用； 2 ．常量与变量的换位； 3 ．反客为主； 4 ．反证法等． 【例题求解】 1 【例】已知满足，那么的值为． 思路点拨 视为整体，避免解高次方程求的值． 2 【例】已知实数、、满足，且求 的值． 思路点拨 显然求、、的值或寻求、、的关系是困难的，令，则 2002= ，原等式就可变形为关于的一元二次方程，运用根与系数关系求解． 1 注：（）人们总习惯于用凝固的眼光看待常量与变量，认为它们泾渭分明，更换不得，实 际上将常量设为变量，或将变量暂时看作常量，都会给人以有益的启示． 2“”“”“”“” （）人的思维活动既有求同和定势的方面，又有求异和变通的方面．求同与求异， 定势与变通是人的思维个性的两极，充分利用知识和方法的双向性，是培养思维能力的重要 途径． 正难则反在具体的解题中，还表现为下列各种形式： (1) 不通分母通分子；