量子力学之狄拉克符号系统与表象

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Dirac 符号系统与表象 Dirac 一、符号 1. 引言 我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的 , 力学量空间即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以 A 不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式来表示一个矢量，而 (A, A, A) 不用具体坐标系中的分量表示一样。 xyz 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描 Dirac 述方法是由首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用 Dirac 的符号称为符号。 2. 态矢量 1. （）右矢空间 力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成 该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。 |ψ> 右矢空间的任一矢量可按该空间的某一完备基矢展开。例如： 2. （）左矢空间 <| 右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为。 <ψ ||ψ> <p’ |, 右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，和称为伴矢量。 <x’ |, <Q | 组成左矢空间的完备基组，任一左矢量可按其展开，即左矢空间的 n 任一矢量可按左矢空间的完备基矢展开。 3. <ψ ||ψ> （）伴矢量和的关系 |ψ >Q |Q > 按的左基矢展开： n |ψ >= a|Q >+ a|Q >+ ... +a |Q >+ ... 112233 Q 展开系数即相当于表象中的表示： <ψ| Q<Q | 按的左基矢展开： n <ψ| =a* <Q |+ a* <Q |+ ... +a* <Q |+ ... 1122nn Q 展开系数即相当于表象中的表示： + ψ= (a*, a*, ..., a*, ... ) 12n <φ| Q 同理某一左矢量亦可按的左基矢展开： <φ| =b* <Q |+ b* <Q |+... +b* <Q |+ ... 1122nn * |ψ> <φ| <φ|ψ> =<ψ|φ> 定义和的标积为：。显然。对于满足 归一化条件的内积有：。这样，本征态的归一化条件可以写