小波理论及其控制中的应用

小波理论及其控制中的应用 1、引言 传统的信号理论,是建立在Fourier分析基础上的,而Fourier变换作为一种全局性的变化,其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进

小波理论及其控制中的应用 1、引言 传统的信号理论,是建立在Fourier分析基础上的,而Fourier变换作为一种 全局性的变化,其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各 种改进,小波分析由此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支,它是泛函数、 Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶;在应用领域,特别是在信号处 理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域,它被认为是继Fourier分析之 后的又一有效的时频分析方法。小波变换与Fourier变换相比,是一个时间和频域 的局域变换因而能有效地从信号中提取信息,通过伸缩和平移等运算功能对函数或 信号进行多尺度细化分析(Multiscale Analysis),解决了Fourier 变换不能解决 的许多困难问题。 小波理论是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出 的,通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式,当时未能得到数 学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展 开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到认可一样。幸运的是,早在七十年 代,A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为 小波变换的诞生做了理论上的准备,而且 J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基;1986年著名数学家 Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基,并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统 一方法--多尺度分析之后,小波分析才开始蓬勃发展起来,其中比利时女数学家 I.Daubechies撰写的《小波十讲(Ten Lectures on Wavelets)》对小波的普及起 了重要的推动作用。与Fourier变换、视窗Fourier变换(Gabor变换)相比,具有 良好的时频局部化特性,因而能有效的从信号中提取资讯,通过伸缩和平移等运算功 能对函数或信号进行多尺度细化分析(Multiscale Analysis),解决了Fourier变换 不能解决的许多困难问题,因而小波变化被誉为“数学显微镜”,它是调和分析发展 史上里程碑式的进展。