利用换元法证明不等式

利用换元法证明不等式廖东明 合理换元往往能简化题设的信息、凸显隐含条件、沟通量与量之间的联系，对发现解题思路、优化解题过程具有重要作用．换元法在不等式证明中也具有独特的作用．一、三角换元在一些代数不

利用换元法证明不等式 廖东明 合理换元往往能简化题设的信息、凸显隐含条件、沟通量与量之间的联系，对发现解题 思路、优化解题过程具有重要作用．换元法在不等式证明中也具有独特的作用． 一、三角换元 在一些代数不等式证明中，选用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化为三角问题， 充分利用三角函数的性质可以使问题化难为易． 例１．已知，求证：． 分析：条件表示的图形是一个圆环，可采用三角换元，分离出参变量 和，进而利用同向不等式的乘积法则使问题获解． 证明：令，，，则， ． ∵∴∴ ，．又，， 即． 点评：三角换元法依据的公式有，， 等，要求解题者善于类比和联想，并且根据具体问题灵活处理．如对条 件可作三角换元，，． 二、代数换元 对于那些具有一定结构特色的代数式，根据题目的特点，巧设某些代数式作换元，往往 能收到化繁为简化难为易的功效． １．局部式子换元 例２．已知，且．求证：． 分析：注意到，作换元（），便可凸显关系，简化书写，使问 题快捷得解． ∴ 证明：令，由可知， ，即． 点评：解题过程中要善于联想和变用，如由（）可 以得到恒等式（也满足）．这样，可以开启思 路，简化过程． ２．均值增量换元