拉格朗日与牛顿插值法的比较

拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较一、 背景在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数在区间上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能

拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较 一、背景 在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问 题中，虽然可以断定所考虑的函数在区间上存在且连续，但却难以找到它的解析表 达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这 张函数表来分析函数的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非常困难的。 面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数 作为的近似。这样就有了插值法，插值法是解决此类问题目前常用的方法。 如设函数在区间上连续，且在个不同的点上分别取 值。 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类中，求一简单函数，使 而在其他点上，作为的近似。 通常，称区间为插值区间，称点为插值节点，称式为插值条件， 称函数类为插值函数类，称为函数在节点处的插值函数。求插值函数 的方法称为插值法。 插值函数类的取法不同，所求得的插值函数逼近的效果就不同。它的选择取 决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作 为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与牛顿插值 法就是这类插值问题。 在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过的代数多项式 使，其中，为实数。 拉格朗日插值法即是寻求函数（拉格朗日插值多项式）近似的代替函数。相 似的，牛顿插值法则是通过（牛顿插值多项式）近似的求得函数的值。 二、理论基础 （一）拉格朗日插值法 在求满足插值条件次插值多项式之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点