高考数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 专题3.4 导数在不等式中的应用练习（含解析）-人教版高三全册数学试题

专题3.4　导数在不等式中的应用【考点聚焦突破】考点一　构造函数证明不等式【例1】 已知函数f(x)＝1－eq \f(x－1,ex)，g(x)＝x－ln x.(1)证明：g(x)≥1；(2)证明：(x

专题3.4导数在不等式中的应用 【考点聚焦突破】 考点一构造函数证明不等式 x－1 ex fx gxxx 【例1】已知函数()＝1－ ，()＝－ln. gx (1)证明：()≥1； 1e2 xxfx (2)证明：(－ln)()>1－ . 【答案】见解析 x－1x gx x 【解析】证明(1)由题意得′()＝(>0)， xgxxgx 当0<<1时，′()<0；当>1时，′()>0， gx 即()在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数. gxg 所以()≥(1)＝1，得证. x－1 x－2 ex ex fx fx (2)由()＝1－ ，得′()＝ ， xfxxfx 所以当0<<2时，′()<0，当>2时，′()>0， fx 即()在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数， 1e2 fxfx 所以()≥(2)＝1－ (当且仅当＝2时取等号).① xxx 又由(1)知－ln≥1(当且仅当＝1时取等号)，② 且①②等号不同时取得， 1e2 xxfx 所以(－ln)()>1－ . 【规律方法】 1.证明不等式的基本方法： 1