浅谈函数的对称性(刘邦

浅谈函数的对称性--------刘邦函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于

浅谈函数的对称性 --------刘邦 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的 基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性 质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问 题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不 同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。 一、 函数自身的对称性探究 定理1.函数 y= f(x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f(x) +f (2a－x) =2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y =f (x)图像上任一点，∵点P( x,y) 关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y =f (x)图像上，∴ 2b－y =f (2a－x) 即y +f (2a－x)=2b故f (x) +f (2a－x) =2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y =f (x)图像上任一点，则y0 =f (x0) ∵f (x) +f (2a－x) =2b∴f (x0) +f (2a－x0) =2b，即2b－y0 =f (2a－x0) 。 故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y =f (x) 图像上，而点P与点P‘关于 点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数 y= f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) +f (－ x) =0