高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式预习导航学案 新人教A版选修45

3.2 一般形式的柯西不等式预习导航1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题． 1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(ae

3.2一般形式的柯西不等式 预习导航 1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题． 1．三维形式的柯西不等式 aaabbb 设，，，，，是实数，则 123123 2 2 2 2 2 2 2 aaabbbabababbi (＋＋)(＋＋)≥(＋＋)，当且仅当＝0(＝1,2,3)或存在一个 i 1 2 3 1 2 3112233 kakbi 数，使得＝(＝1，2,3)时等号成立． ii 222 xyzxyzxyz 【做一做1－1】已知，，＞0，且＋＋＝1，则＋＋的最小值是() 13 12 A．1B． C． D．3 13 2222222222 xyzxyzxyz 解析： 由柯西不等式得(＋＋)·(1＋1＋1)≥(＋＋)＝1.∴＋＋≥ ， 13 13 xyz 当且仅当＝＝＝ 时，等号成立，即所求最小值为 . 答案： B abcabc 【做一做1－2】已知，，＞0，且＋＋＝1，则3a＋1＋3b＋1＋3c＋1的最大值 为() A．3B．32C．18D．9 解析： 由柯西不等式得： 2 abcabc (3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)≤(1＋1＋1)(3＋1＋3＋1＋3＋1)＝3[3(＋＋)＋3]， 2 abc 又∵＋＋＝1，∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)≤3×6＝18，∴3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤3 13 abc 2，当且仅当＝＝＝ 时等号成立． 答案： B 2．一般形式的柯西不等式 aaaabbbb 设，，，…，，，，，…，是实数，则 nn 123123 2 2 22 2 2 2 aaabbbabababbi (＋＋…＋)(＋＋…＋)≥(＋＋…＋)，当且仅当＝0(＝ nnnni 1 2 1 2 1122 nkakbin 1,2，…，)或存在一个数，使得＝(＝1,2，…，)时，等号成立． ii 归纳总结 尽可能地构造符合柯西不等式的形式．常用技巧有：①巧拆常数；②重新安 排某些项的次序；③改变结构；④添项． 1