(完整版)实变函数论课后答案第一章3

实变函数论课后答案第一章3（p20-21）第一章第三节证明上的全体无理数构成一不可数无穷集合.证明：记上的全体有理数的集合为.全体无理数的集合为，则.由于是一可数集合，显然是无穷集合（否则为可数集，是

实变函数论课后答案第一章3（p20-21） 第一章第三节 1. . 证明上的全体无理数构成一不可数无穷集合 . 证明：记上的全体有理数的集合为 . 全体无理数的集合为，则 . 由于是一可数集合，显然是无穷集合（否则为可数集，是可数集，得矛盾） P217 . 故从定理得 . 所以，为不可数无穷集合 2. 证明全体代数数（即整系数多项式的零点）构成一可数集合，进而证明必存在超越数（即 . 非代数数） . 证明：记全体整系数多项式的全体的集合为，全体有理多项式的集合为 3 则上节习题，已知是可数集，而，故至多是可数集，， .. 而显然为无穷集合，故必为可数集 . 任取一有 . 的不同零点至多有个，故全体的零点的并至多为无数 （至多为可数集，所以全体代数数之集 . 也是至多可数集 . 又是可数集， . 带市数显然有无穷个，故全体代数数之集为一可数集 3. . 证明如果是可数基数，则 证明：一方面对于正整数的任意子集，考虑的示性函数