解高考立体几何试题解题方法之平面的法向量

用平面的法向量解高考立体几何试题 张靖松平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，

用平面的法向量解高考立体几何试题 张靖松 平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用， 其实 平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器，开发平面法向量的解题功能，可以解决不 少立体几何中有关角和距离的难题，也能顺利解决2005年全国高考试卷中的立体几何试题。 一、平面法向量的概念和求法 向量与平面垂直aa 如果表示向量的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作。 平面的法向量 aa 如果，那么向量叫做平面的法向量。 一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关 立体几何问题。推导平面法向量的方法如下： 在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或 内任找两个不共线的向量。由，得且 ]，在平面 ，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。有时为了需要，也求法 向量上的单位法向量，则。 1 例 1 在棱长为的正方体中， 的法向量和单位法向量。 求平面 1 解：建立空间直角坐标系，如图，则， 。设平面的法向量。 ，。 得 又面，得，。有，得。 ，。 二、平面法向量的三个引理 为了能方便地运用平面法向量解题，特介绍平面法向量的三个引理，以此为工具，可以 顺利地解决立体几何问题。 引理1 BAB 是平面的单位法向量，点是平面外一定点，点是内任意一点，则点到平面的距离 设向量