n维向量知识点

n维向量n维向量及其线性运算定义2.1.1 n个有顺序的数所组成的n元有序数组称为n维向量。一般用小写希腊字母α，β，γ，⋯表示，即，。数称为向量α的分量（或坐标），称为α的第i个分量（或坐标）。定义

维向量 维向量及其线性运算 2.1.1 定义个有顺序的数所组成的元有序数组称为维向量。一般用小写希腊字母表示， 即，。数称为向量的分量（或坐标），称为的第个分量（或坐标）。 2.1.2 定义设，都是维向量，则向量称为向量与的和，记为，即有。用负向量的概念可以 定义向量的减法，即有。 2.1.3 定义设向量，为实数，则向量称为数与向量的乘积，简称为数乘，记作，即有。 2.1.4 定义给定向量组和向量，如果存在一组实数，使成立，则向量称为向量组的一个线性 组合，其中称为这个线性组合的系数，这时也称为向量能由向量组线性表示。 2.1.5 定义设有两个向量组及，如果组中每个向量都能由向量组线性表示，则称向量组能由 向量组线性表示，如果向量组与向量组能相互线性表示，则称这两个向量组等价。 向量组的线性相关性 定义设向量组，如果存在一组不全为零的实数，使得等式成立，那么向量组称为线性相关 的。否则向量组称为线性无关。如果向量组线性无关，且上述等式成立，则只有。 2.2.1 定理向量组线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量能由其余个向量线 性表示。 2.2.2 定理设向量组线性无关，而向量组线性相关，则能由向量组线性表示，且表示式是唯 一的。 2.2.3 定理（替换定理）设有向量组与向量组如果满足条件 （1） 向量组线性无关； （2） 向量组能由向量组线性表示； 则必有，并且中存在个向量用替换后得到的向量组与等价。 2 推论设有向量组与向量组，如果满足条件 （1） ； （2） 向量组能由向量组线性表示； 则向量组必线性相关。 2 推论等价的线性无关向量组所含向量个数相等 2.2.4 定理若向量组线性相关，则再任意添加上个向量的向量组也线性相关。 2.2.5 定理如果维向量组线性无关，则对每个向量再各添上一个分量后，得到的维向量组 也线性无关。 3 推论如果一个维的向量组线性无关，并对向量组中每个向量的第分量前（后）再填上任意 个个分量，则这样得到的一个维向量组也线性无关；反言之，如果得到的维向量组线 性相关，则原来的维向量组也线性相关。 向量组的秩 2.3.1 定义设有向量组，如果在中有个向量满足 （1） 向量组线性无关 （2） 中任意向量都能由向量组线性表示 则称为向量组的一个最大线性无关组，简称最大无关组。 1 性质向量组与它的任一个最大无关组都等价。 2 性质向量组的任意两个最大无关组都等价。 3 性质一个向量组的任意两个最大无关组所含的向量个数相等。