2025版高考数学一轮总复习考点突破第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性考点2函数的周期性

函数的周期性 INCLUDEPICTURE "F:\\资源上传\\2024-04-28\\例.tif" \* MERGEFORMAT 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝

函数的周期性 fxxfxfx R 设()是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有(＋2)＝－()．当 2 xfxxx ∈[0,2)时，()＝2－. fx (1)求证：()是周期函数； f (2)求(2)的值； xfx (3)当∈(2,4]时，求()的解析式； ffff (4)计算(0)＋(1)＋(2)＋…＋(2025)． fxfx (1)证明：∵(＋2)＝－()， [解析] fxfxfx ∴(＋4)＝－(＋2)＝()． fx ∴()是周期为4的周期函数． fff (2)(2)＝(0＋2)＝－(0)＝0. xx (3)当∈(－2,0]时，－∈[0,2)，由已知得 22 fxxxxx (－)＝2(－)－(－)＝－2－. 2 fxfxfxxx 又()是奇函数，∴(－)＝－()＝－2－. 2 fxxx ∴()＝＋2. xx 又当∈(2,4]时，－4∈(－2,0]， 2 fxxx ∴(－4)＝(－4)＋2(－4)． fx 又()是周期为4的周期函数， 22 fxfxxxxx ∴()＝(－4)＝(－4)＋2(－4)＝－6＋8. 2 xfxxx 即当∈(2,4]时，()＝－6＋8. ffff (4)∵(0)＝0，(1)＝1，(2)＝0，(3)＝－1， fx 且()是周期为4的周期函数， ffffffffff ∴(0)＋(1)＋(2)＋(3)＝(4)＋(5)＋(6)＋(7)＝…＝(2020)＋(2021)＋ ffffff (2022)＋(2023)＝0.(2024)＝(0)＝0，(2025)＝(1)＝1， ffffffff ∴(0)＋(1)＋(2)＋…＋(2021)＋(2022)＋(2023)＋(2024)＋(2025)＝1. 名师点拨： 高考中对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及 解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函 数的周期，利用周期在有定义的范围内进行求解．