高等数学考研大总结系列之一预备知识

第一章预备知识一，函数1函数的定义：⑴传统定义：如果在某变化过程中的两个变量］,y并且对于］在某个范围 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f , y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是］的函数。⑵近

第一章预备知识 一，函数 ］y］ 1 函数的定义：⑴传统定义：如果在某变化过程中的两个变量,并且对于在某个范围 fyy］ 内的每一个确定的值，按照某个对应法则,都有唯一确定的值与之对应，那么就是 的函数。 f ⑵近代定义：函数就是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。记： G） xx fxyyff — = （X£A）其中称为自变量，称为因变量。表示函数在点处的值，A : G） fx f DAfAB ^ 称为函数的定义域，记为：；称为函数的值域， =e （ （）G） （） ｝ 记 ） Rf （ 为：解析：两变量之间是否构成函数关系，不在于一个变量引起另一个变量的变化， 而在于是否存在对应法则（对函数变量的作用模式）使一个变量在其取值范围内任取一值 时，另一个变量总有确定的值与之对应。函数的本质就是对应关系。 2函数的三要素：定义域，值域，对应法则。 yneN 心 * = 解析：⑴常见函数定义域的求法：①分式函数分母不能为0。②定义域 （） ｝ x nNxy (丰 e= 定义域。④(>O, )4|0log a ｝ x N1）定义域^| > a a n xyx - j>= 。③ 0 ｝ 。 0 I ―兀 kZyxxknkZ e］= 。⑥定义域。 ,cote 。 4|,｝ yxxxkn s ⑤定义域 tan =。+ ⑦ — yxXxyxXxyx = 定义域。⑧定义域⑨定 arcsin-1<<1=arccos-1<<1｝=sec ｝ ｝ 。^丰 xxkkZyxR x\xkkZ j+ee11） 义域：；。⑩定义域。（某些实际问题 =csc ， , n 要注 12） 意函数的实际意义。（求复杂函数的定义域时要综合考虑取各部分的交集。 ⑵在研究函数时要树立定义域优先的原则。 ⑶注意定义域与定义区间的区别：对于初等函数定义区间即为它的连续区间，但须小心定义 n yxxkkZ =-=e 域与定义区间是不同的例如：的定义域由这些孤立的点组成 \cos12（） ； 而无定义区间。（结合幂级数的收敛域和收敛区间） R ⑷函数值域的常见求法：①配方法（类二次函数）②判别式法（要求X）③反函数法（即 e 互换法）。④均值定理法。⑤函数的单调性法（一般方法）⑥换元法：㈠代数换元法㈡三角换 k… 元法。⑦复数法（利用复数的模）⑧构造法（构造函数，向量（内积与模积的关系），绝 yxkx =+—（> 对值不等式（利用其性质，两点间距离公式等。）⑨形如的对号函数（图 0） x 象命名）在不能用重要不等式的情况下（等号不成立）尸考虑用函数的单调性当>0时，单 （ kkk*x +8> 减区间为单增区间为其分界点为史于<0的情况可根据奇 , 1V