极限的发展史

极限的发展史从极限思想到极限理论极限的朴素思想和应用可追溯到古代，我国古代哲学名著《庄子》记载着庄 子的朋友惠施的一句话:“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”其含义是:长为一尺的木 棒,第一天截取它的一

极限的发展史 从极限思想到极限理论 极限的朴素思想和应用可追溯到古代，我国古代哲学名著《庄子》记载着庄 : :“” 子的朋友惠施的一句话一尺之棰日取其半万世不竭。其含义是长为一尺 ，， , 的木棒第一天截取它的一半第二天截取剩下的一半这样的过程无穷无尽地 ，， 进行下去。随着天数的增多所剩下的木棒越来越短截取量也越来越小无 ，，， 0,0 限地接近于但永远不会等于。 2000 中国早在年前就已能算出方形、圆形、圆柱等几何图形的面积和体 3 积，世纪刘徽创立的割圆术，就是用园内接正多边形的极限时圆面积这一思 沢 想来近似计算圆周率的，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不 可割，则与圆合体而无所失矣”，这就是早期的极限思想。 17 到世纪，由于科学与技术上的要求促使数学家们研究运动与变化，包括 量的变化与形的变换，还产生了函数概念和无穷小分析即现在的微积分，使数学 17 从此进入了一个研究变量的新时代。到世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在前人 研究的基础上，分别从物理与几何的不同思想基础、不同研究方向，分别独立地 建立了微积分学。他们建立微积分的出发点使直观的无穷小量，极限概念被明 At 确提出，但含糊不清。牛顿子发明微积分的时候，合理地设想：越小，这个 t 平均速度应当越接近物体在时刻时的瞬时速度。这一新的数学方法，受到数学 家和物理学家欢迎，并充分地运用它解决了大量过去无法问津的科技问题，因 18 此，整个世纪可以说是微积分的世纪。但由于它逻辑上的不完备也招来了哲 学上的非难甚至嘲讽与攻击，贝克莱主教曾猛烈地攻击牛顿的微分概念。实事 求是地讲，把瞬时速度说成是无穷小时间内所走的无穷小的距离之比，即“时 间微分”与“距离微分”之比，是牛顿一个含糊不清的表述。其实，牛顿也曾 在著作中明确指出过：所谓“最终的比”不是“最终的量”的比。而是比所趋 近的极限。但他既没有清除另一些模糊不清的陈述，又没有严格界说极限的含 义。包括莱布尼茨对微积分的最初发现，也没有明确极限的意思。因而，牛顿 及其后一百年间的数学家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击，这就是数学 史上所谓第二次数学危机。 经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力 19 到世纪初开始获得成效。由于法国数学家柯西、德国数学家魏尔斯特拉斯等人 的工作，以及实数理论的建立，才使极限理论建立在严密的理论基础之上。至此 极限理论才真正建立起来，微积分这门学科才得以严密化。因而真正现代意义上 . 的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师所 “”“” 谓定义极限，本质上就是给无限接近提供一个合乎逻辑的判定方法，和一个 2 “ 规范的描述格式。这样，我们的各种说法，诸如我们可以根据需要写出根号的 ” 任一接近程度的近似值，就有了建立在坚实的逻辑基础之上的意义。 2.1770221 最早的极限思想公元前――前年，在《庄子》“天下篇”中记录：