级数高等数学

级数一、内容分析与教学建议无穷级数概念的形成是伴随着极限概念的形成而形成的，无穷级数的理论是伴随着微积分理论的发展而发展起来的。如今，无穷级数是表达函数、数值计算等方面的重要工具，已经渗透到科学技术的

第十章 级数 一、 内容分析与教学建议 无穷级数概念的形成是伴随着极限概念的形成而形成的，无穷级数的理论是伴随着微积 分理论的发展而发展起来的。如今，无穷级数是表达函数、数值计算等方面的重要工具，已 经渗透到科学技术的很多领域。 （一）数项级数 1、可通过圆的内接多边形逼近圆的面积等实例引入级数的概念。级数的收敛、发散及 收敛级数的和是本章最基本的概念，要求学生正确理解，至于级数的运算性质，可结合 例题说明性质的应用，及注意和有限数的运算性质相比较。如 等等。 2、正项级数的审敛法是其他级数审敛法的基础，应予以足够重视。比较审敛法是个难 点，这个方法要点是：将所讨论的级数的一般项通过放大或缩小，使之与已知其审敛性 的等比级数（或P–级数）一般项相联系。要通过不断运用使学生理解并掌握。 3、任意项级数中，交错级数占有重要地位，不但要求学生学会其证明定理、领会其方 法，而且要给学生指出莱布尼兹判别法仅仅是充分条件，而非必要条件，另外，判别一 个任意项级数是否绝对收敛、条件收敛有技巧，因此要交给学生一个一般的判别步骤。 4、义积分与无穷级数都是“无限求和”的概念，研究的思想及方法类似，可通过类比 无穷级数审敛法，达到广义积分的审敛法。 本讲是选学内容，可根据专业适当取舍。 （二）幂级数 1、关于幂级数收敛域之特点，主要是通过阿贝尔定理来解决，可结合画图、分类讨论 说明收敛半径存在，并提示收敛域是一个连成一片的完整区间（特例）。 注：新大纲规定，收敛区间=收敛域； 2、关于收敛半径的求法，要交代其基本思想是正项级数判别法（通常用比值或根值）， 并通过几个典型例题给出其一般常见情形收敛半径之求法； 3、将函数展开成幂级数以及求幂级数在收敛区间内的和函数是本章的又一难点，它们 是一个问题的两个方面，讨论方法也是类同的。基本思想是转化为六个基本初等函数， 转化方法：重点介绍逐项求导和逐项求积；