矩阵与范数—扫盲(DOC)[精选多篇][修改版]

第一篇：矩阵与范数—扫盲(DOC)矩阵与范数、谱半径、奇异值 矩阵论主要研究的是线性空间以及在线性空间中的一些操作，主要是线性变换。当然书中主要是针对有限维的情况来讨论的，这样的话就可以用向量和矩阵来

—(DOC) 第一篇：矩阵与范数扫盲 矩阵与范数、谱半径、奇异值 矩阵论主要研究的是线性空间以及在线性空间中的一些操作，主要是线性变换。当然书中主要是针对 有限维的情况来讨论的，这样的话就可以用向量和矩阵来表示线性空间和线性变换，同其他的数学形式一 notation 样，矩阵是一种表达形式（），而这一方面可以简洁地表达出我们平时遇到的如线性方程和协方差 关系的协方差矩阵等，另一方面又给进一步的研究或者问题的简化提供了一个平台。如特征值分析、稳定 性分析就对应着诸如统计分布和系统稳定性等实际问题。而一系列的分解则可以方便方程的数值计算。作 为矩阵论的学习，我们需要了解具体的一些计算究竟是怎么算的，但更关键的是要知道各个概念和方法的 实际意义，各个概念之间的关系。 首先介绍的是线性空间，对于线性空间中的任意一个向量的表示有基（相当于度量单位）和坐标（相 当于具体的尺度），基既然作为度量标准了，当然要求对每一个向量都适用，同时这个标准本身也应该尽 可能的简洁，那么就得到了基定义的两点约束：１、基的组成向量线性无关；２、线性空间中的任一个向 量都可以由基的线性表示。 “” 基作为一种计量标准，当然可能会存在多种形式，只要满足上面的两点条件，因而就有必要解决不同 的度量标准之间的转换关系，从而得到过渡矩阵的概念，同时可以使用这种转换关系（过渡矩阵）去完成 度量量（坐标）之间的转换。 在完成了线性空间这一对象的认识和表达之后，下面需要研究对象和对象之间的关系。这里主要是线 性变换，线性变换针对于实际对象主要完成类似于旋转和尺度变换方面的操作，而这种操作也牵涉到表达 的问题。为了保持与空间的一致性，我们也同样是在特定的基下来表示，从而线性变换就具体化为一个变 换矩阵，并且，在不同的基下对应的变换矩阵当然也不相同，这里的不同的变换矩阵的关系就是相似的概 念。 到此，我们完成了空间中向量的表示和线性变换的矩阵表达。这里涉及了基、坐标、过渡矩阵、变换 矩阵、相似矩阵这几个重要的概念。上面算是内涵上的认识，下面我们需要知道线性空间里究竟有些什么 东西，它是如何组成的，各个组成成分之间的关系，也就是空间的结构性方面的东西。 首先认识子空间（空间的组成部分），当然既然也是空间，也就要满足空间的加法和数乘的封闭性， 要满足那八条定律。后者可以由父空间保证，前面的就要子空间自身素质了。同时要看子空间之间的并、 交、直和运算和相应的秩的关系。这里提到了维数，就要多说几句了，空间中的元素往往是连续过渡的， “” 但是对于有限空间而言还有离散的性质，那就是维数，我称其为不伸则已，一伸则增一，从这也就说明 了为什么可以用若干个子空间的直和可以等价于原线性空间。 子空间的形式很多，有生成子空间、值域空间、零空间（木木先生注：此处指核空间）和特征子空间 等等，我们重点看看特征子空间。一个空间可以划分为若干个特征子空间的直和形式，而每个特征子空间 的共同特征就是具有相同的特征值，范围就是对应着这个特征值的若干特征向量的生成子空间。 为什么要这样划分？因为我们在平时的研究中，整个线性空间太大了，我们需要缩小研究范围，某一 个或几个特征子空间就够了。或者是模式分类时，每一个样本点就属于某个子空间，我们首先需要知道有 哪些类，类的特点是什么，这就是特征子空间。当然对于协方差矩阵而言，特征值还具有能量属性，在清