高中排列组合知识点汇总及典型例题(完整版)

—.基本原理.加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。.乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方

—.基本原理 1 加法原理：做一件事有类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 .n 2 乘法原理：做一件事分步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 .n 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二.排列：从个不同元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有排列的个 nm (m Wn )nm 数记为 A- nl n eN 阳： A= n{n{n-m +\) = 公式： 1.L —1)(〃- 2) 划=%-盟-」规定：』 24=1)(2)…20 ；加=〃〃一〃！ =(〃 +〃!一〃！ (1)(2) x(l)!,(〃 +l)xm =(〃 +1)!〃xm =[(〃 +l)-l]xl)xm =(〃 +l)!- n ⑶+〃 +l n\ (71 +1)! (〃 +l)! (〃 +l)! (〃 +l)! (〃 +l)! 三.组合：从个不同元素中任取个元素并组成一组，叫做从个不同的元素中任取个元素的组合数，记作。 nm (mWn)nnimCn m n- m+1) An(n-l) ................ | n! n ^eN c()=] 规定. —— ----------------------- △』：公式： 1.C =1 m!(n- m)! A：m! ：：：：：〃 C=CT C+ C" =Ch+ C=2 2C>C；+…… 组合数性质: ；：：；・・：：；：：； C+ /+ c> +…CL +c =c; +/ +CM +Ci +c =c; +C[ +...% +c =c; 注：若 C7 =C：m]=m2 m]+m2 =n 则或 ① 四.处理排列组合应用题明确要完成的是一件什么事(审题)②有序还是无序③分步还是分类。 1. 2 解排列、组合题的基本策略 . ；两种思路：①直接法 (1) ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类 (2) 的并集为全集。分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类, 又要 (3) 分步。其原则是先分类，后分步。两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 (4) 3 .排列应用题： ( 穷举法(列举法)：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； (1)2) ,相邻问题：捆邦法： (3) 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一 “大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素 (4) 在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 (5) 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有种排法；若不要求，则有种排法； 12 “小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 (6) 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 (7) .数字问题(组成无重复数字的整数) (8) ①能被整除的数的特征：末位数是偶数；不能被整除的数的特征：末位数是奇数。②能被整除的数的特征：各位数字之和是的倍数； ③能被 22339 4 整除的数的特征：各位数字之和是的倍数④能被整除的数的特征：末两位是的倍数。⑤能被整除的数的特征：末位数是或⑥能被整除 9450525 O 的数的特征：末两位数是⑦能被整除的数的特征：各位数字之和是的倍数的偶数。 25, 50, 75 63 O (( .组合应用题：“至少” “至多”问题用间接排除法或分类法：“含”与“不含”用间接排除法或分类法： 41).2). 3 分组问题： . 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4 分配问题: . 定额分配：(指定到具体位置)即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。随机分配：(不指定到具体位置)即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。 5 隔板法：不可分辨的球即相同元素分组问题 . 例.电视台连续播放个广告，其中含个不同的商业广告和个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的 1642 播放方式(结果用数值表示). 2 ：解：分二步：首尾必须播放公益广告的有种；中间个为不同的商业广告有种，从而应当填从而应填 A?'4A:A.A? =48.48 . 2