08第八章 平面向量【讲义】

第八章 平面向量一、基础知识定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示

第八章平面向量 一、基础知识 1 定义既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。 a.|a| 向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如 1 表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为的向量 称为单位向量。 2 定义方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行 和结合律。 1 定理向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和 结合律。 2a,b0a=f 定理非零向量共线的充要条件是存在实数，使得 3a,bc 定理平面向量的基本定理，若平面内的向量不共线，则对同一平面内任意向是，存在唯一一 x,yc=xa+yba,b 对实数，使得，其中称为一组基底。 3xyi,j 定义向量的坐标，在直角坐标系中，取与轴，轴方向相同的两个单位向量作为基底，任取 c3x,yc=xi+yix,yc 一个向量，由定理可知存在唯一一组实数，使得，则（）叫做坐标。 4a,ba,ba·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos<a, 定义向量的数量积，若非零向量的夹角为，则的数量积记作 b>|b|cosba ，也称内积，其中叫做在上的投影（注：投影可能为负值）。 4a=(x,y),b=(x,y) 定理平面向量的坐标运算：若， 1122 1a+b=(x+x,y+y),a-b=(x-x,y-y) ．， 12121212 2λa=(λx,λy),a·(b+c)=a·b+a·c ．， 11 3a·b=xx+yy,cos(a,b)=(a,b0), ． 1212 4.a//bxy=xy,abx1x2+yy=0. 122112 5PPPppλλP 定义若点是直线上异于，的一点，则存在唯一实数，使，叫分 1212 OPPP 所成的比，若为平面内任意一点，则。由此可得若，，的坐标分 12 (x,y),(x,y),(x,y) 别为，则 1122 6FFa=(h,k)|a|= 定义设是坐标平面内的一个图形，将上所有的点按照向量的方向，平移 p(x,y)F 个单位得到图形，这一过程叫做平移。设是上任意一点，平移到上对应的点 为，则称为平移公式。 5a=(x,y),b=(x,y),|a·b|≤|a|·|b||a+b|≤|a|+|b|. 定理对于任意向量，并且 1122 222 2 2 |a|·|b|-|a·b|=-(xx+yy)=(xy-xy)≥0|a·b|≥0,|a|·|b|≥0 【证明】因为，又， 1212 1221 |a|·|b|≥|a·b|. 所以 |a+b|≤|a|+|b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得 1na=(x,x,…,x)b=(y,y,…,y) 注：本定理的两个结论均可推广。）对维向量，，，同样有 12n12n |a·b|≤|a|·|b| ，化简即为柯西不等式： 2 (xy+xy+…+xy)≥0|a·b|≥0,|a|·|b|≥0 ，又， 1122nn |a|·|b|≥|a·b|. 所以 |a+b|≤|a|+|b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得 1na=(x,x,…,x),b=(y,y,…,y)|a·b|≤|a|·|b| 注：本定理的两个结论均可推广。）对维向量，，同样有， 12n12n 2 (xy+xy+…+xy) 化简即为柯西不等式：。 1122nn 2na,a,…,a|a,a,…,a|≤|a|+|a|+…+|a| ）对于任意个向量，，有。 12n12n12n 用心爱心专心