利用中值定理证明不等式

利用中值定理证明不等式 拉格朗日中值定理的证明过程是基于罗尔定理上的, 并将拉格朗日中值定理作为罗尔定理的推广, 找出辅助函数满足罗尔定理条件得证的: 定理3.2[8] 罗尔定理: 如果函数在

利用中值定理证明不等式 拉格朗日中值定理的证明过程是基于罗尔定理上的并将拉格朗日中值定理作为 , 罗尔定理的推广找出辅助函数满足罗尔定理条件得证的 ,: [8] , 3.2 定理 : 罗尔定理如果函数在闭区间上连续在开区间内可导且 , , 在区间端点的函数值相等即那么在内至少存在一点使得函数在该 点的导数值等于零即 . .(3.1) 证明 , 由于在闭区间上连续所以在上一定取到最小值与最大 ,. 值分别设为与 (1),, 当则在是常值函数即 . ,,. 因此可取内任意一点有 (2),, 当时由于所以最大值、最小值至少有一个在内部取到，不妨设最 .,. 大值在内部取到设则为极大值由在内可 ,., 导知存在由费马定理知 [8] 3.3 定理 : 拉格朗日中值定理如果函数在闭区间上连续在开区间 , 内可导那么在内至少存在一点使等式 , (3.2) . 成立 证明 , 构造一个函数设 , ,. 由于且所以由罗尔定理知至少 ,. 存在一点使又