二次齐次式在解题中的应用

二次齐次式在解题中的应用作者介绍：王扬，男，1959.11生。陕西西安市人，中学高级教师，中国数学奥林匹克高级教练 二次齐次式在解题中的应用 深圳大学附中 王 扬 22 众所周知，二次齐次式是指如下关

二次齐次式在解题中的应用 作者介绍：王扬，男，1959.11生。陕西西安市人，中学高级教师，中国数学 奥林匹克高级教练 二次齐次式在解题中的应用 深圳大学附中王扬 22众所周知，二次齐次式是指如下关于x,y的式子：ax，bxy，cy(a、b、c 为常数).巧妙构造并合理应用这一有意义的式子会给你解题带来意想不到的效果. 尤其是在简化解析几何中的运算将显示出无比的优越性.下面是笔者在课堂教学中 对一些解析几何问题的做法,写出来供同行讨论品评. 12例1.抛物线与过点M(0,-1)的直线L交于A、B两点,O为坐标系原点,如果 y,,x2 OA和OB的斜率之和为1,求直线L的方程. 分析:本题的常规解法是先设直线L的点斜式方程.再根据几何知识求出过原点 O而与AB垂直的直线ON的方程,进而,求得AB的中点N的坐标,再根据几何知识得 2NO=AB，列出关于m的方程.由此确定m的取值,这样便得L的方程. 这里利用构造二次齐次式避免了求N点坐标以及应用距离公式这两个过程. 解:设直线L的点斜式为2x,,2y(kx,y)与抛物线方程联立得y,kx,1 y2并令，此式可变形为（*）,m2m,2km,1,0x yy?OA与OB(记A(x,y),B(x,y))的斜率之和为1，即（*）中的两根， ,m11221x1 yk,m，m,1满足，从而直线L的方程为x,y,1,0。m,122x