数学专题：直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)

直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)高考要求 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类

(1) 直线与圆锥曲线问题的处理方法 高考要求 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置 关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等突出考查了数形结合、分类 讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算 “” 能力较高，起到了拉开考生档次，有利于选拔的功能 重难点归纳 1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成 的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 2“”( 当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用韦达定理法设而不求计算弦长即 )“” 应用弦长公式；涉及弦长的中点问题，常用点差法设而不求，将弦所在直线的斜率、弦 的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关 系灵活转化，往往就能事半功倍 典型题例示范讲解 2 yxOA 1 例 =4(50) 如图所示，抛物线的顶点为，点的坐标为，，倾斜角 lOAOAMN () 为的直线与线段相交不经过点或点且交抛物线于、两点， AMNlAMN △△ 求面积最大时直线的方程，并求的最大面积 直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题 命题意图 ——“” 本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法韦达定理法 弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想 知识依托 m 将直线方程代入抛物线方程后，没有确定的取值范围不等式法求最值 错解分析 忽略了适用的条件 涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关 技巧与方法 系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算 lyxmm =+,50 解法一由题意，可设的方程为其中－＜＜ 22 yxmxml ,,+(24)+=0①∵ 由方程组消去得－直线与抛物线有两个不同交 22 MNΔmmmmmm ∴①=(24)4=16(1)0,1,50,∴ 点、，方程的判别式－－－＞解得＜又－＜＜的范 2 MxyNxyxxmxxmMN (50)(,),(,)+=42·=,∴||=4 围为－，设则－， 11221212 22 AldSmSmm =∴=2(5+),=4(1)(5+) 点到直线的距离为从而－ △△ 3 mmm =2(22)·(5+)(5+)≤2()=128 － Smmm ∴≤8,22=5+,=1 当且仅当－即－时取等号 △ lyxAMN =1△8 故直线的方程为－，的最大面积为