用空间向量解立体几何问题方法归纳

用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u

用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 v au labcαβabcabc ()()() 直线的方向向量为＝，，．平面，的法向量＝，，，＝，， 111333444 auau lαaabbcc ⇔⇔⇔ (1)·00 线面平行：∥⊥＝＋＋＝ 131313 auau lαkakabkbckc ⇔⇔⇔ (2) 线面垂直：⊥∥＝＝，＝，＝ 131313 vv uu αβkakabkbckc ⇔⇔⇔ (3) 面面平行：∥∥＝＝，＝，＝ 343434 vv uu αβaabbcc ⇔⇔⇔ (4)·00 面面垂直：⊥⊥＝＋＋＝ 343434 PABCDPAABCDEFPCPD 1 ­ 如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，⊥底面，，分别是， 例、 PAABBC 12. 的中点，＝＝，＝ EFPAB (1) 求证：∥平面； PADPDC (2). 求证：平面⊥平面 AABADAPxyz [] 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如 证明 ABCDPE (0,0,0)(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1) 图所示，则，，，，，所以 \rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)1\f(12))\rc\)(\a\vs4\al\co1(01\f(12)) F ，，＝，，，， \rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)00) (1,01)(0,21)(0,0,1) ，＝，－，＝，－，＝，＝－，， (0,2,0)(1,0,0)(1,0,0) ，＝，＝． 12 EFAB (1). ∥∥ 因为＝－，所以，即 ABPABEFPABEFPAB ⊂⊄ . ∥ 又平面，平面，所以平面 (2)·(0,0,1)·(1,0,0)0·(0,2,0)·(1,0,0)0 因为＝＝，＝＝， APDCADDC . ⊥⊥⊥⊥ 所以，，即， APADAAPPADADPADDCPADDCPDC ⊂⊂⊂ . ∩⊥ 又＝，平面，平面，所以平面因为平面， PADPDC . ⊥ 所以平面平面 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向 量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向 量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面