初中数学竞赛讲解教材第五讲三角形的五心

第五讲三角形的五心 三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的 五心. 一、外心. 三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角 定理和圆周角定理. ABCBCPPMCAABM 例1．过等腰△底边上一点引∥交于； PNBAACNPMNP 引∥交于.作点关于的对称点′.试 PABC 证：′点在△外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》) MPMPMBNPNP 分析：由已知可得′==，′= NCMPBP =，故点是△′的外心，点 NPPC 是△′的外心.有 BPPBMPBAC ∠′=∠=∠， PPCPNCBAC ∠′=∠=∠. BPCBPPPPCBAC ∴∠′=∠′+∠′=∠. PABCPABC 从而，′点与，，共圆、即′在△外接圆上. PPBPC 由于′平分∠′，显然还有 PBPCBPPC ′:′=:. ABCABBCCAPQS 例2．在△的边，，上分别取点，，.证明以 APSBQPCSQABC △，△，△的外心为顶点的三角形与△ 相似.