专题一：函数概念

专题一： 函数概念与表示一．课标要求1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数

函数概念与表示 专题一： 一．课标要求 1 ．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此 基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解 构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念； 2 ．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法） 表示函数； 3 ．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用； 4 ．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意 义；结合具体函数，了解奇偶性的含义； 5 ．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 要点精讲 1 ．函数的概念 ： ABfA 设、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个 xBfxfABAB ()→ 数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：为从集合到集合 yfxxAxxA =()∈ 的一个函数。记作：，。其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义 xyfxxA {()| ∈} 域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 yfxyx 1“=()”“=g()” 注意：（）是函数符号，可以用任意的字母表示，如； yfxfxxfx 2“=()”() （）函数符号中的表示与对应的函数值，一个数，而不是乘。 2 ．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 1 （）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式： x ① 自然型：指函数的解析式有意义的自变量的取值范围（如：分式函数的分母不为零， 偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）； x ② 限制型：指命题的条件或人为对自变量的限制，这是函数学习中重点，往往也是难 点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； x ③ 实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量的实际意义。 2 （）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函 数的值域问题。 ①②③ 配方法（将函数转化为二次函数）；判别式法（将函数转化为二次方程）；不等 ④ 式法（运用不等式的各种性质）；函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函 数图象等）。 3 ．两个函数的相等： ACf 函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则。当函数的定义域及从定 义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函 数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是 同一个函数。 4 ．区间 12 （）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（）无穷区间； 3 （）区间的数轴表示。 5 ．映射的概念 ABfA 一般地，设、是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合 xByfA 中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应： BABfAB “” 为从集合到集合的一个映射。记作：。