空间向量在立体几何探索性问题中的应用林巧红

空间向量在立体几何探索性问题中的应用——福建晋江养正中学林巧红摘要：“空间向量与立体几何”这一章是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立体几何初步”的延续，空间向量的引入，为解决三维空

空间向量在立体几何探索性问题中的应用 ——福建晋江养正中学林巧红 摘要：“空间向量与立体几何”这一章是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立 体几何初步”的延续，空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有 效的工具。 关键词：空间向量，立体几何，平行垂直，角，距离，探索性问题 立体几何中，平行、垂直、距离和角的问题是主要问题，而以它们为背景的探索性问题是近年来高考 数学命题创新的一个显著特点，既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能 力．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等 价变换，而向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，是联系几何与代数的桥梁。用空间向量处理空 “” 间几何问题，它的实质是将综合推理转化为代数运算，建立由形到形，由形到数，由数到形的新方法， 即在计算或证明立体几何问题时，因地制宜的建立空间直角坐标系，把图形中的相关点用坐标表示，相关 的线段用空间向量表示（它的很多原理都与平面向量相似），从而将空间问题用坐标运算求解，可以避免 “” 较为复杂的空间想象，本文以一道题为例，将空间向量在解决立体几何探索性问题中的作用作初步探 讨： C D 1 1 如图 ：在正方体中，棱长为1，是棱的中点 A 1 1F （）在棱上是否存在一点，使 B 1 ∥ 面。 E D 2MAM （）在平面内是否存在一点，使平面。 A B 3NBN （）在棱上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为。 4PP （）在棱上是否存在一点，使点到平面的距离为。 分析： 本题以正方体为载体，分别考察了以线面平行，线面垂直，线面角，点面距离为背景的探索性问题。 在解决立体几何探索性问题的过程中，利用传统方法计算时，发现学生要么毫无头绪而选择放弃，要么出 C D 1 1 现以下两种解法： F A 1 FF∥ 解法一，先猜点为线段的中点，然后把点为线段的中点作为已知条件，证明面 B 1 G E C D FEFGEG 如第一问的解法：为线段的中点，连接，取线段的中点，连接 A B