微分方程高等数学

第十一章 微分方程一、内容分析及教学建议微分方程是本门课程的三个组成部分之一，是微积分的具体应用。实际上微分方程问题，早在十七世纪末，微积分开始形成时，就已经涉及，可以说是与微积分同时发展起来的。在二

第十一章微分方程 一、内容分析及教学建议 微分方程是本门课程的三个组成部分之一，是微积分的具体应用。实际上微分方程问题， 早在十七世纪末，微积分开始形成时，就已经涉及，可以说是与微积分同时发展起来的。在 二十世纪前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学；而现在，几乎在自然科学、 工程技术，甚至于生物、医学、经济学领域的各个部门都会出现，它已成为研究科学技术、 解决实际问题不可缺少的有力工具。 （一） 微分方程的概念 从实例引入微分方程的主要概念，要着重指出通解中常数个数与阶数的关系，并且要注 意： ① 通解中所含任意常数的个数不是形式上，而是实质上的； ② 微分方程解中并非只有通解和特解，还存在既非通解又非特解的解。 例如：函数是微分方程的解， , 此解不是通解，也不是特解。 (二) 一阶微分方程的解法 1、一阶微分方程类型较多，教学中应让学生能掌握正确判断方程的类型，按方程所属 类型采用适当的方法求解； 如，改写为（关于的一阶线性微分方程等）； 2、一阶微分方程中分离变量法是最基本的，要有足够的训练，让学生牢固掌握，必要 时让学生复习不定积分的基本内容； 3、可通过齐次方程的求解，引入一般的变量代换解法，要求学生了解其思想，对于具 体代换，只介绍简单的代换，如，即可； 4、关于一阶线性微分方程，一定要交待常数变易法的想法及步骤，导出通解公式后， 指出其通解结构，为以后高阶线性微分方程奠定基础； 5、对于全微分方程求解，涉及到“曲线积分”内容，通常有三种解法（见“曲线积分”