与直线和圆有关的最值问题-理(解析版)

圆锥曲线专题突破一：与直线和圆有关的最值问题题型一　有关定直线、定圆的最值问题例1　已知x，y满足x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值为________．破题切入点　直接用几何意义—

圆锥曲线专题突破一：与直线和圆有关的最值问题 题型一 有关定直线、定圆的最值问题 22 xyxyxy 例1 已知，满足＋2－5＝0，则(－1)＋(－1)的最小值为________． xyxy 破题切入点 直接用几何意义——距离的平方来解决，另外还可以将＋2－5＝0改写成＝5－2，利用二次函数法来解决． 22 xyPxyQ 解析 方法一 (－1)＋(－1)表示点(，)到点(1,1)的距离的平方． PlxyPQQl 由已知可知点在直线：＋2－5＝0上，所以的最小值为点到直线的距离， |1＋2×1－5| 1＋22 545 5 222 dxyd 即＝＝，所以(－1)＋(－1)的最小值为＝. 22 xyxyxy 方法二 由＋2－5＝0，得＝5－2，代入(－1)＋(－1)并整理可得 954545 222222 yyyyyyy (5－2－1)＋(－1)＝4(－2)＋(－1)＝5－18＋17＝5(－)＋，所以可得最小值为. 题型二 有关动点、动直线、动圆的最值问题 lPxyABOAOBOl 例2 直线过点(1,4)，分别交轴的正方向和轴的正方向于、两点．当＋最小时，为坐标原点，求 的方程． OAOB 破题切入点 设出直线方程，将＋表示出来，利用基本不等式求最值． llkykxk 解依题意，的斜率存在，且斜率为负，设直线的斜率为，则－4＝(－1)(<0)． k 4 yAxBk 令＝0，可得(1－，0)；令＝0，可得(0,4－)． 4－k kk 44 OAOBkkk ＋＝(1－)＋(4－)＝5－(＋)＝5＋(－＋)≥5＋4＝9. 4－k kkkOAOBlxy 所以，当且仅当－＝且<0，即＝－2时，＋取最小值．这时的方程为2＋－6＝0. 题型三 综合性问题 (1)圆中有关元素的最值问题 22 yxPCxyPTTPTP 例3 由直线＝＋2上的点向圆：(－4)＋(＋2)＝1引切线(为切点)，当的长最小时，点的坐标是 ________． PT 破题切入点 将的长表示出来，结合圆的几何性质进行转化． PPTPTPCPCPC2－1 解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点的距离的关系，可知＝，故最小时，即最小，此时垂