基于微分学的“两个重要极限”再研究

摘 要：通过对“无穷大”与“无穷小”进行形象化描述来理解这组概念，从而为分析“两个重要极限”奠定基础。本文简要说明了在第一重要极限中源何不采用"不定式"极限运算法则，并对两个重要极限进行分析讨论（软件

摘要：通过对“无穷大”与“无穷小”进行形象化描述来理解这组概念，从而为分析 “两个重要极限”奠定基础。本文简要说明了在第一重要极限中源何不采用"不定式"极限运 算法则，并对两个重要极限进行分析讨论（软件仿真），进而实现对该理论的系统性理解。 中国论文网 关键词：无穷大；无穷小；两个重要极限；欧拉法则 中图分类号：017文献标识码：A一、无穷大与无穷小 1无穷大与无穷小的定义及说明 在此给出无穷大与无穷小的另外一种定义形式。 无穷大：绝对值无限增大的一类特殊变量。 我们对无穷大进行如下说明：1）无穷大量是具有非正常极限的函数，例：是 时的无穷大量；2）无穷大量实质上是变量极限不存在的一种形式。 无穷小：极限为零的一类特殊变量。 理解无穷小时，要注意两点：1）无穷小量是有界量；2）无穷小量≠负无穷大量。尤其 是后者，初学时很容易混淆这两个概念。 2无穷大与无穷小的形象化理解 下面我们通过两例来形象化地理解无穷大与无穷小的概念： 1）以《文始真经》（第八卷八筹篇）中“关尹子”的话为例来体味：是道也，其来无 今，其往无古；其高无盖，其低无载；其大无外，其小无内；其本无一，其末无多；其外无 物，其内无人；其近无我，其远无彼。不可析，不可合，不可喻，不可思，惟其混沌，所以 为道。 其中有“其大无外，其小无内”是在讲道，“其”包括所有。不妨通过“其大无外，其 小无内”来理解“无穷大”和“无穷小”这两个概念：无穷大，大至无外；无穷小，小至无 内。即：向外扩展，没有外限；向内收缩，没有内限。体现出动态变化的思想，进而也能体 会出无穷大量与无穷小量是一对变量。 2）以一则故事来体味：两个小朋友在一起斗嘴，甲说：“我有一个苹果”。乙说：“我 有两个”。甲说：“我有三个”。乙说：“我有四个”。……甲说：“我有一万个”。乙说：“我 有十万个”。这时，甲生气了，对乙说：“不管你有多少，我都比你多！”此刻甲向乙传达 出的就是无穷大的数学概念！（若将“不管你有多少，我都比你多！”改为“不管你有多少， 我都比你多一个！”传达出的就不是无穷大的概念了。） 3无穷小量代换的分析及优越性 在极限的运算中，无穷小量代换成为解题中经常用到的一个技巧，极大地缩减了运算量， 体现出其特有的优越性。 等价无穷小量代换：设当时，f与g均为无穷小量，若，则称f与g是 在极限运算中，经常会用到以下等价无穷小代换：当时 我们来对上述其中之一 进行剖析：时，，即：。大家学习不定式极限运算法则后，会习惯性地采用不同于 “夹逼准则”的另外一种证明方法： 证明：根据不定式极限运算法则（“欧拉法则”）得： ，即：当时，。 故：，∴得证！ 乍眼一看，似乎此法要比"夹逼准则"简单明了，但对吗？为什么？ 下面我们会给出细致的分析：上述证明中用不定式极限运算法则时，用到了 能不能这样呢？显然不能，因为在 的证明中就要用到。所以，若通过不 北京时间 www.010time.comiyd