圆形有界磁场中磁聚焦规律的证明及应用

圆形有界磁场中“磁聚焦”规律的证明及应用王波（安徽省天长中学 239300）摘要：带电粒子在匀强磁场中的运动是高中物理中常见的问题，磁场的边界也有多种情况，其中圆形边界最为常见，而当磁场圆半径与轨

“” 圆形有界磁场中磁聚焦规律的证明及应用 王波 239300 （安徽省天长中学） 摘要： 带电粒子在匀强磁场中的运动是高中物理中常见的问题，磁场的边界也有多种情 况，其中圆形边界最为常见，而当磁场圆半径与轨迹圆半径相等时，存在两条特殊规律：从 边界上某点射入的相同粒子，其出射方向都平行于入射点的切线方向；反之，当从磁场边界 上不同点以相同速度平行入射的相同粒子，又会聚焦于磁场边界上的同一点。这好比经过凸 透镜焦点的入射光线，经凸透镜折射后变成平行光线；而平行主光轴入射的光线经凸透镜折 “” 射后会聚于焦点一样，我们可以称之为磁聚焦，以此为背景的题目中通常表现为设计磁场 区域的问题。 关键词： 圆形有界磁场磁聚焦磁场设计 带电粒子在匀强磁场中的运动是高中物理中常见的问题，磁场的边界也有多种情况，其 中圆形边界最为常见，而当磁场圆半径与轨迹圆半径相等时，存在两条特殊规律。本文首先 利用几何知识证明这两条规律的正确性，然后应用这两条规律来解决三个磁场区域设计题， 这三个题目初次遇到都会感到难以下手。 一、 规律及证明： 规律1：带电粒子从圆形有界磁场边界上的某点射入磁场，如果磁场圆半径等于轨迹圆半径， 则粒子的出射方向与磁场圆上入射点处的切线方向平行。 O 证明： 1⊙ 如图所示，实线圆表示一圆形有界磁场的边界，一个带电粒子（不计重力）从 ARR 圆上的点射入磁场，磁场圆的半径为，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动半径也是， ADCCEADCE A 为过点的切线，粒子从边界上的点沿方向射出，下面来证明∥： OAOCAC 、、 2 如图所示，设为粒子做圆周运动的圆心，连接、，因为磁场圆半 OAC 径等于轨迹圆半径，故，则四边形为菱形，可得： OACOAADCADCCEADCE ⊥⊥⊥， ∥，又因为，则；因为可得∥ 说明： 2 图 3 图 1 图 A 在上述证明过程中，粒子的入射方向是任意的，而点的切线方向是确定的，因此从 AAD 3 点射入磁场的所有粒子都会平行于方向射出，如图所示。粒子的入射方向是分散的， 但经过圆形有界磁场偏转后，转变为平行出射，好比光学中，经过焦点的入射光线经凸透镜 折射后变为平行光线一般。 2. 此规律的逆规律也是成立的，这就是规律。 规律2：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果磁场圆半径等于轨迹圆半径，则所有 粒子都从磁场边界上的同一点射出磁场。 证明： O 4 如图所示，在圆中存在垂直纸面向里的匀强磁场，一束带电粒子的质量和电荷量 相同，以相同的速度从不同位置射入磁场，已知圆形有界磁场的圆半径和带电粒子作圆周运 RA 动的半径相等，均为，求证所有粒子都从磁场边界上的同一点射出。 OxPO 5 如图所示，过点建立平面直角坐标系，轴平行入射方向，设入射点与圆心的 4 图