柯西准则及其应用

柯西准则及其应用摘　要：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就一种情形来讨论，本文将补给并详细证明其它五

柯西准则及其应用 摘要： 柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用贯穿于数学分析课程学 习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就一种情形来讨论，本文将补给并详 细证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用． 关键词： 柯西准则；应用；极限存在；优越性 引言： 柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用非常广泛， 贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就 一种情形来讨论，即 设函数在内有定义，存在的充要条件是：任给，存在正数 (<)< ，使得对任何，，都有． 事实上，当，，，，五种情形函数极限存在的柯西 准则可以类比，它们的应用也非常广泛．本文将详细叙述并证明其它五种情形函数极限的柯 西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用，充分展示其在解决 上述几个方面问题的优越性和博大精深之处． 1 柯西准则的其它五种形式 1.1 定理 设函数在内有定义．存在的充要条件是：任给，存 < 在正数，使得对任何，，均有． 证 >(<) 必要性设，则对任给的，存在正数，使得对 有．于是对有 >(< 充分性设数列且，按假设，对任给的，存在正数 ) ，使得对任何，，有 >>> 由于对上述的存在使得当时有 第1页