弹性与塑性力学第23章习题答案

第二章2.1(曾海斌)物体上某点的应力张量σij为σij=(应力单位)求出:(a)面积单位上应力矢量的大小,该面元上的法线矢量为n=(1/2,1/2,1/);(b)应力主轴的方位;(c)主应力的大小;

第二章 2.1(曾海斌)物体上某点的应力张量σ为σ=(应力单位) ijij 求出: n (a)面积单位上应力矢量的大小,该面元上的法线矢量为=(1/2,1/2,1/ ); (b)应力主轴的方位; (c)主应力的大小; (d)八面体应力的大小; (e)最大剪应力的大小。 解答: (a)利用式(2.26)计算应力矢量的分量,得 i =σn=σnσnσn= 0;同样 =n =272.47 =σn 11jj111+122 +133 2jj33jj =157.31 所以,应力矢量的大小为 2 2 21/2 [() +()+()]=314.62 1 2 3 3 2 (b)(c)特征方程:σ—Iσ+ Iσ—I=0 1 23 其中I =σ 的对角项之和、I =σ 的对角项余子式之和、I =σ的行列式。 1ij2ij3ij 从一个三次方程的根的特征性可证明: I=σ+σ+σ 1123 I=σσ+σσ+σσ 2122331 I=σσσ 3123 其中得,σ=400、σ=σ=0 是特征方程的根。 123 2 2 2 将σ、σ和σ分别代入(2.43),并使用恒等式n+ n+ n=1 1231 2 3 可决定对应于主应力每个值的单位法线n的分量(n 、n 、n): i123 (1) n=(0, ±0.866,±0.5) i (2) n=(0, 0.5,±0.866) i (3) n=(±1, 0,0) i 注意主方向2和3不是唯一的,可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。 (d)由式(2.96),可算 σ=1/3(0+100+300)=133.3 otc 1/2 τ=1/3(90000+40000+10000+6*30000)=188.56 otc

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