数学专业毕业论文 压缩映射原理及其应用

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压缩映射原理及其应用 摘要: 本文较详细地论述了Banach空间中的压缩映射原理，以及它在关于 一些问题的解的存在唯一性定理证明中的广泛应用。 关键词: 抽象函数,不动点,压缩映射,抽象微分方程,隐函数存在性理 引言: 压缩映射原理的研究是算子方程Fx=x的求解问题，它不仅具有实 义，而且对泛函分析理论的发展起着重大作用。 我们首先介绍不动点和压缩映射的定义以及压缩映射原理，并在此基 础上，进一步给出一个推广的压缩映射原理。压缩映射原理不仅指出了算子方 程x=Fx的解的存在性和唯一性，而且给出了近似求解的方法及误差估计，因而 是很有用的。微分方程初值问题的解的存在唯一性定理及毕卡(Picard)逐次逼 近法就是它的特例。在Banach空间中这一问题将更为普遍。数学分析中的隐函 数存在定理也是压缩映射原理的一个特例。 一、几个定义及压缩映射原理 定义1 设X，Y为巴拿赫空间，算子（一般地，F是非线性 的）。如果存在有界线性算子使得关系式 对于满足的是一致成立的，则称算子F在点处是 弗力许（Fréchet）可微的，并记，称为算子F在点处的 弗力许导数。 为了给出关于算子的有限增量公式（相当于中值定理），我们引入关于抽 象函数的积分的概念。 设x(t)是由实数域到巴拿赫空间X的算子。这种算子通常称为“抽象函 数”。现设x(t)的定义域是区间[a，b]。将[a，b]分成n个小区间，分点为 记此分划为，及在每个小区间 上任取一点，作和式 (*)