不可测集的数理分析

不可测集的数理分析不可测集是数理分析中的一个重要概念，它在测度论的研究中扮演着重要的角色。本文将介绍不可测集的定义、性质以及在数学分析和测度论中的重要应用。不可测集的定义相对来说比较复杂，我们需要引入

不可测集的数理分析 不可测集是数理分析中的一个重要概念，它在测度论的研究中扮演着重要的角色。本 文将介绍不可测集的定义、性质以及在数学分析和测度论中的重要应用。 不可测集的定义相对来说比较复杂，我们需要引入测度论的一些基本概念。首先，我 XXσ-sigmaΣX 们定义一个可测空间，上的一个代数（代数）是一个上的一个子集 XΣX 合族，具有一定的性质。如果是一个集合，并且是上的一个子集族，满足以下 条件： 1. ΣXX 包含的空集和全集本身； 2. Σ 对于有限并运算封闭； 3. Σ 对于可列并运算封闭； 4. Σ 对于补运算封闭。 Xμ 接下来，我们考虑一个可测空间上的一个函数，它被称为测度函数。测度函数具 有以下性质： 1. XAμ(A) >= 0 非负性：对于的每个子集，； 2. 0μ(∅) =0 空集的测度为：； 3. Aiμ(∪Ai) =Σμ(Ai) 可列可加性：对于可列个互不相交的子集，有； μ 当满足这些性质时，我们称测度函数是一个测度。 EAμ(A ∩E) +μ(A 接下来，我们定义一个集合，如果对于任意一个可测子集，都有 ∩E^c) =μ(A)E^cEE 成立，其中是的补集。那么，我们称集合是可测的。反之， Aμ(A ∩E) +μ(A ∩E^c) ≠μ(A) 如果存在一个可测子集，使得，那么我们称集合 E 是不可测的。 19Georg Cantor 不可测集的存在性是基于选择公理的，这个结果可以追溯到世纪末的 Emile Borel 和的研究。选择公理是数学上的一个假设，它断言在非空集合的任意一个 非空子集族中都存在一个选择函数，即可以在每个子集中选择一个元素。基于选择公 Vitali Vitali 理，我们可以构造出一个不可测集，即集。集是实数集上的一个不可测 [0,1]x ~y 集，它由实数集在范围内所有的等价类组成，其中等价关系定义为：，当且 x- y 仅当是有理数。