(完整word版)精选-矩阵的奇异值分解

§2 矩阵的奇异值分解定义 设是秩为的复矩阵，的特征值为.则称为A的奇异值.易见，零矩阵的奇异值都是零，矩阵的奇异值的个数等于的列数，的非零奇异值的个数等于其秩.矩阵的奇异值具有如下性质：（1）为

§2 矩阵的奇异值分解 定义 设是秩为的复矩阵，的特征值为 . A. 则称为的奇异值 易见，零矩阵的奇异值都是零，矩阵的奇异值的个数等于的列 . 数，的非零奇异值的个数等于其秩 矩阵的奇异值具有如下性质： 1 （）为正规矩阵时，的奇异值是的特征值的模； 2Hermite （）为半正定的矩阵时，的奇异值是的特征值； 3 （）若存在酉矩阵，矩阵，使， ABAB .. 则称和酉等价酉等价的矩阵和有相同的奇异值 奇异值分解定理 设是秩为的复矩阵，则存 mn 在阶酉矩阵与阶酉矩阵，使得 .① 其中，为矩阵的全部非零奇 . 异值 n 证明 Hermite 设矩阵的个特征值按大小排列为 .